幂级数的导数是数学分析中的重要内容，常用于函数展开与近似计算。掌握其导数公式有助于理解函数的局部性质。
以下为常见幂级数及其导数公式总结：
| 原始幂级数 | 导数公式 |
| $ sum_{n=0}^{infty} a_n x^n $ | $ sum_{n=1}^{infty} n a_n x^{n-1} $ |
| $ e^x = sum_{n=0}^{infty} frac{x^n}{n!} $ | $ e^x = sum_{n=1}^{infty} frac{n x^{n-1}}{n!} $ |
| $ sin x = sum_{n=0}^{infty} (-1)^n frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} $ | $ cos x = sum_{n=0}^{infty} (-1)^n frac{(2n+1)x^{2n}}{(2n+1)!} $ |
| $ cos x = sum_{n=0}^{infty} (-1)^n frac{x^{2n}}{(2n)!} $ | $ -sin x = sum_{n=0}^{infty} (-1)^n frac{2n x^{2n-1}}{(2n)!} $ |
通过逐项求导，可以保持幂级数在收敛区间内的有效性。该方法广泛应用于微分方程与函数逼近中。
